존재성과 유일성 문제

해에 관한 두 가지 중요한 문제는 바로, 해가 존재하는가? 그렇다면, 그 해는 유일한가? 에 관한 문제이다. 이 문제를 해결하기 위해(즉, 해를 끝까지 구해보고나서야 아 없네 하는게 아니라!) 행축약row reduction을 통해 행렬을 사다리꼴row echelon form으로 만들게 된다. 행축약의 forward phase뿐만 아니라 backward phase도 수행하면, 기약사다리꼴reduced row echelon form 행렬을 얻는다.

cf) 각각의 약자를 REF와 RREF라 한다. RREF는 실질적으로 계산을 완전히 끝낸 상태라고 이해하면된다. 존재성과 유일성 문제는 REF선에서 끝난다.
행축약 알고리즘에 대한 자세한 설명은 생략한다.

추축위치

모든 행렬에서 기약사다리꼴은 유일하게 결정된다.
즉, 기약사다리꼴의 선행성분leading entry(■)의 위치는 언제나 유일하게 결정된다.

선형계의 해

행렬의 추축열에 대응하는 변수를 기본변수basic variable라 한다. 나머지 변수는 자유변수free variable라 한다.
자유변수란, 변수의 값을 임의로 정할 수 있다는 것이고, 기본변수는 기본변수 또는 상수 값에 의해 결정(종속)된다.
선형계의 해를 구한다. 즉 선형계를 푼다는 것은 해가 없음을 밝히거나, 해가 있다면 해를 매개변수로써 표현함을 의미한다.

존재성과 유일성 문제의 결론

행렬의 REF를 보고 해결할 수 있다고 위에서 말했다.

i) 해가 없는 경우 $⟺$ 0 = ■ 꼴이 존재하는 경우
ii) 해가 있고, 유일한 경우 $⟺$ i)가 아니고, 자유변수가 없는 경우
iii) 해가 있고, 유일하지 않은 경우 $⟺$ i)가 아니고, 자유변수가 있는 경우

위 3가지 경우는 모두 행축약을 통해 REF를 만들면, 명약관화하게 한눈에 모두 알 수 있다.